Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os três lados de qualquer triângulo retângulo. Na geometria euclidiana, o teorema afirma que:
“ | Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos. | ” |
Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos
são os dois lados que o formam. O enunciado anterior relaciona
comprimentos, mas o teorema também pode ser enunciado como uma relação
entre áreas:
“ | Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos. | ” |
Para ambos os enunciados, pode-se equacionar
onde c representa o comprimento da hipotenusa, e a e b representam os comprimentos dos outros dois lados.
O teorema de Pitágoras leva o nome do matemático grego Pitágoras (570 a.C. – 495 a.C.), que tradicionalmente é creditado pela sua descoberta e demonstração,[1][2] embora seja frequentemente argumentado que o conhecimento do teorema seja anterior a ele (há muitas evidências de que matemáticos babilônicos conheciam algoritmos
para calcular os lados em casos específicos, mas não se sabe se
conheciam um algoritmo tão geral quanto o teorema de Pitágoras).[3] [4] [5]
O teorema de Pitágoras é um caso
particular da lei dos cossenos, do matemático persa Ghiyath al-Kashi (1380 – 1429), que permite o cálculo do comprimento do terceiro lado de qualquer triângulo, dados os comprimentos de dois lados e a medida de algum dos três ângulos.
O teorema de Pitágoras: a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos (a e b) equivale à área do quadrado construído sobre a hipotenusa (c).
Fórmula e corolários
Sendo c o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos catetos, o teorema pode ser expresso por meio da seguinte equação:
Manipulando algebricamente essa equação, chega-se a que se os
comprimentos de quaisquer dois lados do triângulo retângulo são
conhecidos, o comprimento do terceiro lado pode ser encontrado:
Outro corolário do teorema é que:
“ | Em qualquer triângulo retângulo, a hipotenusa é maior que qualquer um dos catetos, mas menor que a soma deles. [6] | ” |
maior que qualquer um dos catetos pois todos os comprimentos são
necessariamente números positivos, e c² > b², logo c > b, e c²
> a², logo c > a. E a hipotenusa é menor que a soma dos catetos
pois c² = b² + a², e (b+a)² = b² + 2ba + a², logo c² < (b+a)², logo
c < b + a.
Um triângulo retângulo, de catetos a e b, e de hipotenusa c.
Demonstrações
O teorema de Pitágoras já teve muitas demonstrações publicadas. O livro The Pythagorean Proposition, de Elisha Scott Loomis, por exemplo, contém 370 demonstrações diferentes.[7] Há uma demonstração no livro Os Elementos, de Euclides.[8] E também ofereceram demonstrações, o matemático indiano Bhaskara Akaria, o polímata italiano Leonardo da Vinci, e o vigésimo presidente dos Estados Unidos, James A. Garfield.[9][10][11]
O teorema de Pitágoras é tanto uma afirmação a respeito de áreas quanto
a respeito de comprimentos, algumas provas do teorema são baseadas em
uma dessas interpretações, e outras provas são baseadas na outra
interpretação.
Por comparação de áreas
Não se sabe ao certo qual seria a demonstração utilizada por Pitágoras, entretanto, muitos autores concordam que ela teria sido feita através da comparação de áreas, conforme se segue:
- Desenha-se um quadrado de lado
- Traçam-se dois segmentos paralelos aos lados do quadrado;
- Divide-se cada um destes dois retângulos em dois triângulos retos, traçando as diagonais. Chama-se c o comprimento de cada diagonal;
- A área da região formada ao retirar os quatro triângulos retos é igual a
- Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado mas colocamos os quatro triângulos retos noutra posição.
- A área da região formada quando se retiram os quatro triângulos retos é igual a
Como representa a área do quadrado maior subtraída da soma das áreas dos triângulos retângulos, e representa a mesma área, então . Ou seja: num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. O segmento de medida c foi chamado de hipotenusa e os de medida b e a foram chamados de catetos.
Por semelhança de triângulos
Esta demonstração se baseia na proporcionalidade dos lados de dois triângulos semelhantes, isto é, que a razão entre quaisquer dois lados correspondentes de triângulos semelhantes é a mesma, independentemente do tamanho dos triângulos.
Sendo ABC um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado em C, como mostrado na figura. Desenha-se a altura com origem no ponto C, e chama-se H sua intersecção com o lado AB. O ponto H divide o comprimento da hipotenusa, c, nas partes d e e. O novo triângulo, ACH, é semelhante ao triângulo ABC, pois ambos tem um ângulo reto, e eles compartilham o ângulo em A, significando que o terceiro ângulo é o mesmo em ambos os triângulos também,[12] marcado como θ na figura. Seguindo-se um raciocínio parecido, percebe-se que o triângulo CBH também é semelhante à ABC. A semelhança dos triângulos leva à igualdade das razões dos lados correspondentes:
Estas relações podem ser escritas como:
Somando estas duas igualdades, obtém-se
que, rearranjada, é o teorema de Pitágoras:
Demonstração que utiliza o conceito de semelhança: os triângulos ABC, ACH e CBH têm a mesma forma, diferindo apenas pelas suas posições e tamanhos.
Demonstração algébrica
A análise da figura da direita permite computar a área do quadrado
construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo: ela é quatro
vezes a área desse triângulo mais a área do quadrado restante, de lado (b−a). Equacionando-se, segue que:
Logo:
- (o termo (b-a)² é um produto notável)
- (por comutatividade da multiplicação: 2ab = 2ba)
Por cálculo diferencial
Pode-se chegar ao teorema de Pitágoras pelo estudo de como mudanças
em um lado produzem mudanças na hipotenusa e usando um pouco de cálculo. É uma demonstração baseada na interpretação métrica do teorema, visto que usa comprimentos, não áreas.
Como resultado da mudança da no lado a,
por semelhança de triângulos e para mudanças diferenciais. Então,
que resulta da adição de um segundo termo para as mudanças no lado b.
Pela integração, segue:
Quando a = 0 então c = b, então a "constante" é b2. Logo,
Demonstração que usa equações diferenciais.
Uma demonstração por rearranjo é dada pela animação à esquerda. Como
a área total e as áreas dos triângulos são constantes, a área preta
total é constante também. E a área preta pode ser dividida em quadrados
delineados pelos lados a, b, c do triângulo, demonstrando que a2 + b2 = c2.
Na animação à direita, um grande quadrado inicial é formado da área c 2
tornando adjacentes quatro triângulos retângulos idênticos, deixando um
pequeno quadrado no centro do grande quadrado, de modo a acomodar a
diferença de comprimentos dos lados dos triângulos. Dois retângulos são
formados, de lados a e b, movendo-se os triângulos.
Incorporando o pequeno quadrado central com um destes retângulos, os
dois retângulos são feitos em dois quadrados de áreas a 2 e b 2, mostrando que c 2 = a 2 + b 2.
Num espaço com um produto interno
Pode-se estender o Teorema de Pitágoras a espaços com produto interno e com uma norma induzida por este. Nessa situação:
Dois vetores x e y são ditos perpendiculares se:
Segue então:
Animação mostrando outra demonstração por rearranjo.[13]
Recíproca
- "Para qualquer triângulo com lados l, m, e r, se l² + m² = r², então o ângulo entre l e m mede 90°".
ou, usando apenas palavras,
“ | Se num triângulo o quadrado em um dos lados for igual à soma dos quadrados construídos sobre os dois lados restantes do triângulo, o ângulo formado pelos dois lados restantes do triângulo é um ângulo reto. | ” |
Ela pode ser provada usando-se a lei dos cossenos.
Consequências e usos
Talvez nenhuma outra relação geométrica seja tão utilizada em matemática
como o teorema de Pitágoras. Ao longo dos séculos foram sendo
registrados muitos problemas curiosos, cujas resoluções têm como base
este famoso teorema. É possível utilizar o teorema de Pitágoras em todos os polígonos, pois eles podem ser divididos em triângulos e esses em triângulos retângulos. E por extensão, a todos os poliedros.
A diagonal do quadrado
A diagonal do quadrado divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo o lado e a diagonal, segue que:
A altura do triângulo equilátero
A altura do triângulo equilátero divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo o lado e a altura, segue que:
Finalmente, a altura do triângulo equilátero é encontrado como:
A diagonal do cubo
Seja a a medida de sua aresta (medida de um lado de uma face quadrada)
- (I)
Também pelo teorema de Pitágoras tem-se que:
- (II)
De I e II:
Então:
AC' (em azul) é uma diagonal do cubo, enquanto AC (em vermelho) é uma diagonal de uma de suas faces.
Identidade trigonométrica fundamental
Disso, segue que:
Ternos pitagóricos
Um terno pitagórico (trio pitagórico) consiste em três números inteiros positivos a, b, e c, tais que a 2 + b 2 = c 2.
Em outras palavras, um terno pitagórico representa os comprimentos dos
lados de um triângulo retângulo, onde todos os três lados têm
comprimentos inteiros. Essa tripla é geralmente escrita como (a, b, c ). Alguns exemplos bem conhecidos são (3, 4, 5) e (5, 12, 13).
Um terno pitagórico primitivo é aquele em que a, b e c são coprimos (o máximo divisor comum de a, b e c é 1).
Lista de ternos pitagóricos primitivos até 100:
(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11,
60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28,
45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65,
72, 97)
Números irracionais como comprimento
Distância entre dois pontos
Seja e Para auxiliar, seja
Como A e C possuem mesma ordenada,
Como B e C possuem mesma abcissa,
Então
Generalizações
Lei dos cossenos
O teorema de Pitágoras permite calcular um lado de um triângulo retângulo conhecendo os outros dois. A lei dos cossenos permite calculá-lo em qualquer triângulo.
Assim, o teorema de Pitágoras é um caso especial do teorema mais geral
que relaciona o comprimento dos lados de qualquer triângulo, a lei dos
cossenos é a seguinte:
onde θ é o ângulo entre os lados a e b. Quando θ é 90 graus, cos(θ) = 0, assim, a fórmula reduz-se ao teorema de Pitágoras.
Teorema de Gua
O teorema de Pitágoras pode ser generalizado para um n-simplex
retângulo: o quadrado do (n-1)-volume da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados dos (n-1)-volumes dos catetos. Em particular, num tetraedro
retângulo (isto é, que tem 3 faces perpendiculares entre si - os
catetos), o quadrado da área da hipotenusa (a face que não é
perpendicular às restantes) é igual à soma dos quadrados das áreas dos
catetos.
Figuras semelhantes nos três lados
O teorema de Pitágoras foi generalizado por Euclides em seu livro Os Elementos para estender-se além das áreas dos quadrados nos três lados, para figuras semelhantes:[15]
“ | Erguendo-se figuras semelhantes nos lados de um triângulo retângulo, então a soma das áreas das duas menores é igual à área da maior. |
Na geometria esférica e hiperbólica
O teorema de Pitágoras é derivado dos axiomas da geometria euclidiana, e de fato, a versão euclidiana não é válida nas geometrias não euclidianas. (Foi mostrado que o teorema de Pitágoras é equivalente ao postulado das paralelas)
Em outras palavras, numa geometria não euclidiana, a relação entre os
lados de um triângulo deve necessariamente tomar outra forma. Por
exemplo, na geometria esférica, a² + b² ≠ c².
Seja c a hipotenusa de um triângulo rectângulo numa geometria não euclidiana e a e b os catetos. O teorema de Pitágoras toma uma das seguintes formas:
- Na geometria esférica, tem-se
- Na geometria hiperbólica tem-se
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by: "Kyle Roonney"